Perbandingan trigonometri adalah metode menghitung perbandingan antara sisi segitiga dengan sudut segitiga. Dalam perhitungan perbandingan trigonometri, dikenal beberapa macam perbandingan trigonometri, salah satunya adalah perbandingan trigonometri sudut berelasi.
Perbandingan trigonometri sudut berelasi mengacu pada perbandingan antara sudut segitiga dengan sudut sudut lainnya yang berelasi. Ada beberapa contoh soal dan jawaban perbandingan trigonometri sudut berelasi yang bisa dipelajari. Berikut adalah 3 contoh soal serta jawapannya:
1. Contoh Soal
Diketahui, segitiga ABC segitiga siku-siku dengan sudut BAC = 30°, serta titik D merupakan sudut siku-siku dari segitiga ABC dengan AD = 12 cm. Hitunglah panjang AC.
1. Jawaban
Pada segitiga ABC, sudut BAC = 30°, sehingga sudut BCA = 60°. Oleh karena itu, perbandingan trigonometri sudut berelasi antara sudut BCA dan BAC adalah:
$$tan BCA = frac{AB}{AC}$$$$tan 60° = frac{AB}{AC}$$
Karena sudut BAC = 30°, maka perbandingan trigonometri sudut berelasi antara sudut BAC dan BCA adalah:
$$tan BAC = frac{AC}{AB}$$$$tan 30° = frac{AC}{AB}$$
Dalam segitiga ABC, diketahui AD = 12 cm. Oleh karena itu, dapat ditemukan bahwa:
$$tan 30° = frac{AC}{AB}$$$$frac{1}{sqrt{3}} = frac{AC}{AB}$$
Dalam segitiga ABC, diperoleh:
$$tan 60° = frac{AB}{AC}$$$$sqrt{3} = frac{AB}{AC}$$
Maka didapatkan:
$$AB = sqrt{3}AC$$$$frac{1}{sqrt{3}}AB = AC$$
Substitusi persamaan terakhir pada persamaan sebelumnya, sehingga didapatkan:
$$frac{1}{sqrt{3}}AB = AC$$$$frac{1}{sqrt{3}}(AD+BD) = AC$$$$frac{1}{sqrt{3}}(12+BD) = AC$$$$frac{12}{sqrt{3}} + frac{1}{sqrt{3}}BD = AC$$$$4sqrt{3} + frac{1}{sqrt{3}}BD = AC$$
Substitusi nilai AB dari persamaan sebelumnya, maka diperoleh:
$$frac{1}{sqrt{3}}AB = AC$$$$frac{1}{sqrt{3}}sqrt{3}AC = AC$$
Maka diperoleh nilai AC:
$$AC = 4sqrt{3} + BD$$
2. Contoh Soal
Diketahui, segitiga ABC segitiga siku-siku dengan sudut BAC = 30°, serta titik D merupakan sudut siku-siku dari segitiga ABC dengan AD = 12 cm. Hitunglah panjang BD.
2. Jawaban
Pada segitiga ABC, sudut BAC = 30°, sehingga sudut BCA = 60°. Oleh karena itu, perbandingan trigonometri sudut berelasi antara sudut BCA dan BAC adalah:
$$tan BCA = frac{AB}{AC}$$$$tan 60° = frac{AB}{AC}$$
Karena sudut BAC = 30°, maka perbandingan trigonometri sudut berelasi antara sudut BAC dan BCA adalah:
$$tan BAC = frac{AC}{AB}$$$$tan 30° = frac{AC}{AB}$$
Dalam segitiga ABC, diketahui AD = 12 cm. Oleh karena itu, dapat ditemukan bahwa:
$$tan 30° = frac{AC}{AB}$$$$frac{1}{sqrt{3}} = frac{AC}{AB}$$
Dalam segitiga ABC, diperoleh:
$$tan 60° = frac{AB}{AC}$$$$sqrt{3} = frac{AB}{AC}$$
Maka didapatkan:
$$AB = sqrt{3}AC$$$$frac{1}{sqrt{3}}AB = AC$$
Dalam segitiga ABD, sudut ADB adalah 90°. Oleh karena itu, dapat ditemukan bahwa:
$$tan ADB = frac{BD}{AD}$$$$tan ADB = frac{BD}{12}$$
Dalam segitiga ABC, diperoleh:
$$tan 60° = frac{AB}{AC}$$$$sqrt{3} = frac{AB}{AC}$$
Maka didapatkan:
$$AB = sqrt{3}AC$$$$AB = sqrt{3}(AD+BD)$$$$AB = sqrt{3}AD + sqrt{3}BD$$
Substitusi persamaan sebelumnya, sehingga didapatkan:
$$sqrt{3}(AD+BD) = sqrt{3}AD + sqrt{3}BD$$$$sqrt{3}(12+BD) = sqrt{3}AD + sqrt{3}BD$$$$12sqrt{3} + sqrt{3}BD = sqrt{3}AD + sqrt{3}BD$$$$12sqrt{3} = sqrt{3}AD$$$$AD = 12sqrt{3}$$
Substitusi nilai AD pada persamaan sebelumnya, maka diperoleh:
$$sqrt{3}(12+BD) = sqrt{3}(12sqrt{3}) + sqrt{3}BD$$$$12+BD = 12sqrt{3} + BD$$$$12 = 12sqrt{3}$$
Karena persamaan tersebut tidak memungkinkan terpenuhinya nilai BD, maka tidak ada solusi untuk panjang BD.
3. Contoh Soal
Diketahui, pada segitiga ABC terdapat sudut A, B, dan C masing-masing sebesar 30°, 60°, dan 90°. Hitunglah panjang sisi AB pada segitiga ABC.
3. Jawaban
Pada segitiga ABC, diketahui sudut BAC = 30°, sudut BCA = 60°, dan sudut ACB = 90°. Oleh karena itu, perbandingan trigonometri sudut berelasi antara sudut BCA dan BAC adalah:
$$tan BCA = frac{AB}{AC}$$$$tan 60° = frac{AB}{AC}$$
Karena sudut BAC = 30°, maka perbandingan trigonometri sudut berelasi antara sudut BAC dan BCA adalah:
$$tan BAC = frac{AC}{AB}$$$$tan 30° = frac{AC}{AB}$$
Dalam segitiga ABC, sudut C bernilai 90°, sehingga:
$$sin C = frac{BC}{AB}$$$$sin 90° = frac{BC}{AB}$$$$1 = frac{BC}{AB}$$$$AB = BC$$
Dalam segitiga ABC, perbandingan trigonometri sudut berelasi antara sudut BCA dan BAC adalah:
$$tan 60° = frac{AB}{AC}$$$$sqrt{3} = frac{AB}{AC}$$
Dalam segitiga ABC, perbandingan trigonometri sudut berelasi antara sudut BAC dan BCA adalah:
$$tan 30° = frac{AC}{AB}$$$$frac{1}{sqrt{3}} = frac{AC}{AB}$$
Substitusi persamaan terakhir pada persamaan sebelumnya, sehingga didapatkan:
$$frac{1}{sqrt{3}} = frac{AC}{AB}$$$$frac{1}{sqrt{3}} = frac{AC}{BC}$$
Substitusi nilai BC dari persamaan sebelumnya, maka diperoleh:
$$frac{1}{sqrt{3}}AB = BC$$
Maka panjang sisi AB pada segitiga ABC adalah:
$$AB = sqrt{3}BC = sqrt{3}AC $$
Sehingga, diketahui panjang sisi BC sama dengan panjang sisi AB dan dapat ditemukan dengan menggunakan teorema Pythagoras:
$$(AC)^2 + (AB)^2 = (BC)^2$$$$(AC)^2 + (sqrt{3}BC)^2 = (BC)^2$$$$ AC = frac{sqrt{3}}{2}BC$$
Maka didapatkan panjang sisi AB pada segitiga ABC:
$$AB = sqrt{3}AC$$$$AB = sqrt{3}(frac{2}{sqrt{3}}BC)$$$$AB = 2BC$$
Selanjutnya, dapat ditemukan panjang sisi AB secara numerik dengan mengasumsikan panjang sisi BC sebagai 1:
$$AB = 2BC$$$$AB = 2(1)$$$$AB = 2$$
Kesimpulan
Perbandingan trigonometri sudut berelasi adalah salah satu metode perhitungan trigonometri yang digunakan untuk menghitung perbandingan antara sudut segitiga dengan sudut sudut lainnya yang berelasi. Ada beberapa contoh soal dan jawaban perbandingan trigonometri sudut berelasi yang dapat dipelajari, dan ketiga contoh soal di atas dapat digunakan sebagai referensi. Namun, dalam menjawab soal-soal perbandingan trigonometri, dibutuhkan pemahaman yang baik mengenai konsep dasar trigonometri serta kemampuan untuk memecahkan masalah secara sistematis. Oleh karena itu, sangat penting untuk memahami setiap langkah perhitungan serta mempraktikannya secara intensif agar memperoleh kemampuan yang baik dalam menghitung perbandingan trigonometri.
