Perbandingan dan skala adalah topik penting dalam matematika karena berbagai hal dapat diukur dan dibandingkan dalam berbagai aspek kehidupan kita. Baik dalam konteks bisnis maupun kehidupan sehari-hari, pemahaman yang baik tentang perbandingan dan skala dapat membantu kita mengambil keputusan yang tepat. Dalam artikel ini, kita akan membahas 20 soal seputar perbandingan dan skala beserta pembahasannya.
Perbandingan
Soal 1
Dalam sebuah perbandingan, jika setiap angka dikalikan dengan 3, maka 5, 7, dan 9 akan membentuk perbandingan dengan rasio apa?
Jawaban:
Jadi, kita harus mengalikan setiap angka dengan 3:
5 x 3 = 15
7 x 3 = 21
9 x 3 = 27
Jadi, 15:21:27 adalah rasio yang dibentuk.
Soal 2
Tiga kucing memiliki berat 5 kg, 3 kg, dan 7 kg. Berapa rasio berat dari kucing yang paling berat terhadap yang paling ringan?
Jawaban:
Jadi, kucing dengan berat terbesar memiliki berat 7 kg dan yang terkecil 3 kg. Jadi, rasio berat dari kucing yang paling berat terhadap yang paling ringan adalah 7:3 atau 7/3.
Skala
Soal 3
Skala pada sebuah peta adalah 1:50,000. Jarak sebenarnya antara dua kota adalah 250 km. Berapa jarak antara dua kota tersebut pada peta?
Jawaban:
Jarak pada peta adalah jarak sebenarnya dibagi dengan skala. Jadi, jarak antara dua kota pada peta adalah:
250 km : 50,000 = 0.005 km
0.005 km = 5 m
Jadi, jarak antara dua kota tersebut pada peta adalah 5 m.
Soal 4
Sebuah tangga memiliki tinggi 3 m dan membentang sejauh 5 m. Jika skala pada gambar adalah 1:10, berapa tinggi tangga pada gambar?
Jawaban:
Kita harus menggunakan rumus: Ukuran sesungguhnya/Ukuran pada gambar = Skala. Jadi, tinggi tangga pada gambar adalah:
3m/10 = 0.3 m
Jadi, tinggi tangga pada gambar adalah 0,3 m.
Perbandingan dan Skala
Soal 5
Pada skala 1:100, gambar sebidang lahan seluas 2.000 m2. Berapakah luas sebenarnya dari lahan tersebut?
Jawaban:
Luas sebenarnya dari lahan tersebut adalah 100 kali luas pada gambar. Jadi, luas sebenarnya lahan tersebut adalah:
2,000 m2 x 100 = 200,000 m2
Jadi, luas sebenarnya dari lahan tersebut adalah 200.000 m2.
Soal 6
Dalam sebuah keluarga, ayah, ibu, dan dua anak memiliki tinggi 185 cm, 170 cm, 150 cm, dan 135 cm. Jika pada gambar tinggi ayah direpresentasikan dengan 14 cm, berapa tinggi anak yang diasumsikan pada gambar?
Jawaban:
Pertama, kita perlu memahami rasio tinggi pada gambar dan sesungguhnya. Ayah mempunyai tinggi 185 cm dan direpresentasikan dengan 14 cm pada gambar, sehingga rasio tinggi pada gambar dan sesungguhnya adalah 14:185 atau 14/185. Kita dapat menentukan tinggi anak pada gambar seperti berikut:
(14/185) x 135 = 10,27 cm
Jadi, tinggi anak pada gambar diasumsikan sebesar 10,27 cm.
Soal 7
Sebuah mobil berjalan 180 km pada 3 jam. Berapa jarak yang matahari tempuh pada skala 1:24,000,000?
Jawaban:
Kita perlu mengalikan jarak sesungguhnya dengan skala, sehingga:
180 km x 24,000,000 = 4,320,000,000 km
Jadi, jarak yang ditempuh matahari adalah sekitar 4.320.000.000 km pada skala 1:24.000.000.
Perbandingan dan Skala pada Diagram
Soal 8
Pada diagram segitiga berikut ini, AB : AC = 3:4, AC = 20 cm, dan BC = 15 cm. Hitunglah panjang AB.
Jawaban:
Karena rasio AB : AC = 3:4, maka kita dapat menuliskan:
AB/AC = 3/4
AB/20 = 3/4
AB = (3/4) x 20 = 15
Jadi, panjang AB adalah 15 cm.
Soal 9
Pada diagram lingkaran berikut ini, PQ = QR = 8 cm, dan PT = 12 cm. Hitunglah panjang TR.
Jawaban:
Ingat bahwa untuk diagram lingkaran, rasio keliling adalah 2πr, dan rasio dua busur harfiah adalah rasio sudut pusat diukur dalam derajat. Sudut pusat lengkap adalah 360 derajat.
PQ = QR, jadi sudut pusat yang terbentuk oleh PQ dan QR adalah 360/2 = 180 derajat.
Jadi, rasio busur PQ:QR = 180:180 = 1:1.
PT = 12 cm mengalami perubahan karena rasio, maka TR menjadi 16 cm (8 × 2).
Jadi, panjang TR adalah 16 cm.
Soal 10
Pada diagram persegi panjang berikut ini, b/d = 2/3, e/f = 1/3, dan d/e = 2. Tentukanlah panjang dari BC.
Jawaban:
Kita dapat menuliskan:
b/d = 2/3
d/e = 2
e/f = 1/3
Kita perlu mencari nilai b dan c yang dihubungkan dengan d. Pertama, kita dapat mengalikan d/e dengan e/f untuk mendapatkan rumus d/f sebagai berikut:
d/f = (d/e) x (e/f) = (2/1) x (1/3) = 2/3.
Selanjutnya, kita dapat menjumlahkan b/d dengan d/f untuk mendapatkan rumus sederhana untuk b/f seperti berikut:
b/d + d/f = b/f
2/3 + 2/3 = b/f
4/3 = b/f
Kita juga tahu bahwa panjang BC harus sama dengan e + f:
BC = e + f = (1/3) + f
Karena b/f = 4/3, maka f harus menjadi (3/4)e:
BC = e + f = e + (3/4)e = (7/4)e
Karena d/e = 2, maka (1/3)e = d/2. Oleh karena itu, e = (3/2)d.
Jadi, BC = (7/4)e = (7/4) x (3/2)d = 21/8d.
Jadi, panjang BC adalah 21/8 kali panjang d.
Kerucut dan Bola
Soal 11
Sebuah kerucut memiliki jari-jari 7 cm dan tinggi 9 cm. Hitunglah volumenya.
Jawaban:
Volume kerucut dapat dihitung menggunakan rumus 1/3 x π x r^2 x t. Jadi, volume kerucut tersebut adalah:
1/3 x π x 7^2 x 9 = 220.35 cm^3
Jadi, volumenya adalah 220.35 cm^3.
Soal 12
Sebuah bola memiliki jari-jari 14 cm. Hitunglah volumenya.
Jawaban:
Volume bola dapat dihitung menggunakan rumus 4/3 x π x r^3. Jadi, volume bola tersebut adalah:
4/3 x π x 14^3 = 11463.44 cm^3
Jadi, volumenya adalah 11463.44 cm^3.
Soal 13
Sebuah bola kawat dengan diameter 24 cm dicat. Jika cat menutupi 10% permukaan bola, berapa banyak cat yang dibutuhkan untuk mengecat bola tersebut?
Jawaban:
Contoh cara pengerjaan dalam soal ini adalah dengan menghitung luas permukaan bola dan kemudian mengalikannya dengan 10%. Jika kita mengetahui volume bola, kita juga dapat mengetahui luas permukaan bola. Berikut ini adalah rumus untuk menghitung luas permukaan bola:
L = 4 x π x r^2
Jadi, L = 4 x π x (d/2)^2 = 4 x π x 12^2.
Volume bola dapat dihitung menggunakan rumus 4/3 x π x r^3.
V = 4/3 x π x (d/2)^3 = 4/3 x π x 12^3.
Kemudian, kita dapat menghitung berapa banyak cat yang dibutuhkan untuk menutupi 10% permukaan bolanya. Kita dapat menuliskan:
Volume cat = 0.1 x 4/3 x π x 12^3
Jadi, banyaknya cat yang dibutuhkan adalah Volume cat.
Trigonometri
Soal 14
Dalam sebuah segitiga ABC, sudut A sama dengan 45 derajat, AB = 10 cm, dan BC = 10 cm. Hitunglah panjang AC.
Jawaban:
Kita dapat menggunakan Persamaan Pythagoras dalam segitiga ini karena kita tahu dua sisi dan ingin mengetahui yang ketiga. Menurut persamaan, c^2 = a^2 + b^2. Jadi, panjang AC adalah:
AC^2 = AB^2 + BC^2 = 10^2 + 10^2 = 200
AC = sqrt(200) = 10√2
Jadi, panjang AC adalah 10√2 cm.
Soal 15
Dalam sebuah segitiga XYZ, sudut Z sama dengan 90 derajat dan sin X adalah 4/5. Jika XY = 20 cm, hitunglah panjang YZ.
Jawaban:
Kita dapat menggunakan persamaan Trigonometri: Sin(X) = Opposite/Hypotenuse. Jadi, jika Sin(X) = 4/5, maka
Opposite = 4/5 x Hypotenuse
Kita tahu bahwa sudut Z sama dengan 90 derajat dan XY = 20 cm. Dengan menggunakan Persamaan Pythagoras, kita dapat mengetahui panjang YZ.
Hypotenuse^2 = Opposite^2 + Adjacent^2
Hypotenuse^2 = (4/5 x Hypotenuse)^2 + 20^2
Kemudian, kita dapat menghitung nilai Hypotenuse:
Hypotenuse^2 – (16/25 x Hypotenuse^2) = 400
9/25 x Hypotenuse^2 = 400
Hypotenuse^2 = 400 x (25/9)
Hypotenuse = 200/3 cm
Jadi, panjang YZ adalah 200/3 cm.
Persamaan Linier Satu Variabel
Soal 16
Jika 3a + 5 = 17, berapa nilai dari a?
Jawaban:
Untuk mengetahui nilai a, kita harus mencari tahu nilai yang membuat persamaan tersebut benar. Pertama, kita kurangi kedua sisi persamaan dengan 5:
3a = 12
Kita bagi kedua sisi persamaan dengan 3:
a = 4
Jadi, nilai a adalah 4.
Soal 17
Jika x – 5 = 8, berapa nilai dari x?
Jawaban:
Untuk mengetahui nilai x, kita harus mencari tahu nilai yang membuat persamaan tersebut benar. Pertama, kita tambahkan kedua sisi persamaan dengan 5:
x = 13
Jadi, nilai x adalah 13.
Persamaan Kuadrat
Soal 18
Jika x^2 + 4x – 12 = 0, berapa nilai x?
Jawaban:
Kita dapat menggunakan metode faktorisasi untuk menyelesaikan persamaan kuadrat ini. Pertama, kita mencari dua bilangan yang perkaliannya sama dengan -12 dan jumlahnya sama dengan 4. Dalam hal ini, bilangan-bilangan tersebut adalah 6 dan -2. Sehingga, kita dapat menuliskan persamaan sebagai berikut:
(x + 6)(x – 2) = 0
Jadi, nilai x adalah -6 atau 2.
Soal 19
Jika 5x^2 + 25x + 30 = 0, berapa nilai x?
Jawaban:
Kita dapat menggunakan metode faktorisasi untuk menyelesaikan persamaan kuadrat ini. Yang harus kita lakukan adalah membagi kedua sisi persamaan dengan 5 terlebih dahulu untuk mendapatkan persamaan selanjutnya:
x^2 + 5x + 6 = 0
Kemudian, kita mencari dua bilangan yang perkaliannya sama dengan 6 dan jumlahnya sama dengan 5. Dalam hal ini, bilangan-bilangan tersebut adalah 2 dan 3. Sehingga, kita dapat menuliskan persamaan sebagai berikut:
(x + 3)(x + 2) = 0
Jadi, nilai x adalah -3 atau -2.
Soal 20
Jika 2x^2 – 10x + 12 = 0, berapa nilai x?
Jawaban:
Kita dapat menggunakan metode faktorisasi untuk menyelesaikan persamaan kuadrat ini. Yang harus kita lakukan adalah membagi kedua sisi persamaan dengan 2 terlebih dahulu untuk mendapatkan persamaan selanjutnya:
x^2 – 5x + 6 =
