Soal Perbandingan Vektor: Apa Itu Vektor Dan Cara Menghitung Perbandingannya

Mungkin pernah terdengar kata "vektor" bagi sebagian orang, namun mungkin tidak semua tahu apa yang dimaksud dengan kata tersebut dan bagaimana cara menghitung perbandingannya. Dalam dunia matematika, vektor merupakan besaran yang dijelaskan dengan arah dan besarnya. Dalam artikel ini, akan dijelaskan lebih rinci tentang apa itu vektor, cara menghitung perbandingannya, serta contoh soal untuk memperjelas pemahaman kita.

Pengertian Vektor

Vektor adalah besaran yang di dalamnya terdapat dua komponen yaitu arah dan besarnya. Arah vektor digambarkan dengan anak panah yang menunjukan arah dari ujung kepala ke ujung ekor. Sedangkan besarnya vektor digambarkan dengan panjang anak panah tersebut. Contoh dari vektor adalah kecepatan, percepatan, dan gaya.

Perbandingan Vektor

Perbandingan vektor dapat dilakukan dengan menggunakan rumus perbandingan atau dengan menghitung hasil kali dot. Pertama-tama kita perhatikan rumus perbandingannya, yaitu:

Rumus Perbandingan Vektor

Jika a dan b adalah dua buah vektor dengan arah dan besarnya masing-masing, maka perbandingan antara a dan b didefinisikan dengan rumus:

Keterangan:

• ||a||: panjang vektor a
• ||b||: panjang vektor b
• ε: sudut antara kedua vektor

Rumus perbandingan ini dapat membantu kita untuk menghitung perbandingan antara dua buah vektor yang mempunyai arah dan besarnya masing-masing.

Cara Menghitung Perbandingan Vektor

Untuk lebih memahami tentang perhitungan perbandingan vektor, mari kita pahami contoh soal berikut.

Diketahui vektor A(2,4) dan vektor B(6,2). Hitunglah perbandingan antara vektor A dan vektor B!

Langkah-langkah untuk menghitung perbandingan vektor A dan B adalah sebagai berikut:

1. Hitung panjang vektor A dan vektor B, menggunakan rumus berikut:

   

   Kita dapat menghitungnya sebagai berikut:

   • ||A|| = √(2^2 + 4^2) = √(4 + 16) = √20
   • ||B|| = √(6^2 + 2^2) = √(36 + 4) = √40

2. Hitung nilai dot product dari vektor A dan B, menggunakan rumus berikut:

   

   Kita dapat menghitungnya sebagai berikut:

   • A . B = (2 x 6) + (4 x 2) = 12 + 8 = 20

3. Hitung nilai sudut antara vektor A dan B, menggunakan rumus berikut:

   

   Kita dapat menghitungnya sebagai berikut:

   • cos θ = (A . B) / (||A|| x ||B||) = (20) / (√20 x √40) = 5/8
   • θ = cos⁻¹(5/8) = 37.28° (rounded to two decimal places).

4. Hitung perbandingan antara vektor A dan B menggunakan rumus:

   

   Kita dapat menghitungnya sebagai berikut:

   • A : B = sin(θ – 90) : sin(90 – θ)
   • A : B = sin(−52.72°) : sin(52.72°)
   • A : B = -0.79 : 0.62
   • A : B = -1.27 : 1 (di-approximate)

Jadi, perbandingan antara vektor A dan B adalah -1.27 : 1

Contoh Soal Perbandingan Vektor

Berikut adalah beberapa soal yang dapat membantu kita memperdalam pemahaman tentang rumus perbandingan vektor:

1. Diketahui vektor A (6,2) dan vektor B(10,2). Hitunglah perbandingan antara vektor A dan B!
2. Diketahui vektor C (8,2) dan kotak ABCD dengan panjang sisi 5 satuan. Jika titik A berada di (0,0), maka hitunglah proyeksi vektor C pada diagonal BD.
3. Diketahui vektor P(3,4) dan Q(2,3). Jika vektor R memenuhi persamaan P + 2R = 3Q, maka tentukan nilai R.

Kesimpulan

Perbandingan vektor dapat dilakukan menggunakan rumus perbandingan atau dengan menghitung hasil kali dot. Rumus perbandingan memiliki kaitan erat dengan sudut antara dua vektor tersebut. Dalam konteks matematika, menghitung perbandingan vektor sangat penting untuk mengetahui hubungan antara dua buah vektor yang memiliki arah dan besar yang berbeda, sehingga dapat membantu dalam menyelesaikan berbagai persoalan matematika.